Se este for um sistema de arquivos ext3, você pode estendê-lo ao tamanho de LV executando:
resize2fs /dev/system/var
Se isso for mais do que ext3, use a ferramenta apropriada, por exemplo, xfs_growfs /var
se for XFS.
Isso não é absolutamente nada para se ter medo. Eu estendi centenas de sistemas de arquivos em mais de 10 anos em vários sistemas operacionais e nunca vi a operação levar a uma interrupção de qualquer tipo.