O Git escreve seus erros no stderr, para que você não os perca se você redirecionar a saída normal (para um arquivo ou, no seu caso, para um programa).
Você pode tentar:
zenity --class=CheckGit --info title="Check git updates" --text="\n \
<b>MY-GIT-REPO:</b> $(cd "/home/ME/.local/share/git/MY-GIT-REPO" && git pull 2>&1 | grep -E '(up-to-date|changed|error)')"