Não, um aqui-doc é expandido principalmente como uma string com aspas duplas :
If no part of word is quoted, all lines of the here-document shall be expanded for parameter expansion, command substitution, and arithmetic expansion.
As barras invertidas também funcionam para escapar de caracteres especiais.
A nota sobre citar significa que algo como <<"EOF"
impediria a expansão de qualquer coisa dentro do aqui-doc. No seu exemplo, a referência a ${logfile}
seria expandida pelo shell antes de passar a entrada para cat
.
Você ainda pode usar a substituição de comando se quiser incluir a saída de um comando, mas, se tudo o que você quer é que usar um pipe também seria uma escolha lógica.