Você precisa executar a exportação em relação ao nome da variável. No momento, a variável está sendo referenciada e substituída antes que a exportação a veja.
Altere para isto:
export user
Observe a falta de $
Sua versão atual é essencialmente isto:
export ubuntu
Porque $user
é interpretado primeiro.
Você também perdeu suas variáveis ambientais ao usar o sudo. Existem duas maneiras de preservá-las. Mantenha todo o seu ambiente
sudo -E -u $user command
Ou apenas mantenha a variável que você precisa
sudo user=$user -u $user command