Não com o sistema de arquivos padrão ext2/3/4 linux, acho que sua única solução é registrar o uso do arquivo em um arquivo de log (mas as pessoas podem encontrar esse arquivo e modificá-lo.
Então, meu conselho seria usar um serviço web pequeno ( PHP , Python ou mesmo perl que incrementasse um valor em um banco de dados para que as pessoas não pudessem alterar o valor facilmente).
Editar 1 :
Bem, parece que alguns softwares podem realizar tal tarefa, veja o post para Script para contar o número de vezes que um arquivo foi acessado
Editar 2 (como estado por comentaristas) :
Você pode começar com um bom tutorial em auditd deamon
E também pesquisa no google ou Duck duck ir para auditd , que é o nome do deamon que você precisará.