Você tem algumas opções:
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Inicie a instância de inicialização do EBS com um volume raiz maior do EBS. Aqui está um artigo escrito descrevendo como fazer isso: link
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Anexe volumes extras do EBS à instância. Aqui está um artigo que escrevi para a Amazon descrevendo as melhores práticas com um exemplo usando um banco de dados MySQL: link
Eu recomendo manter seus dados separados de seu disco de inicialização (opção 2) para manutenção futura, atualizações, cópias entre instâncias, arquiteturas de comutação e muito mais.
Na segunda abordagem, demonstro como usar "bind mounts" para que você não precise alterar a configuração do seu aplicativo.
Para ser completo, devo mencionar que as instâncias do EC2 têm armazenamento efêmero (gratuito) disponível para eles, mas como tudo que está armazenado ali é perdido para sempre quando a instância é interrompida, finalizada ou falha, ela não é recomendada para a maioria dos aplicativos .