Como apontado por 0xSheepdog, a VM estava fazendo o ping com precisão. Por padrão, a caixa virtual definirá o endereço IP da máquina como 10.0.2.15. Então, quando eu corri o ping 10.0.2.15, eu deveria ter sabido melhor. Consegui encontrar o seguinte tutorial em vídeo explicando como resolver esse problema, começando por usar o vboxmanage.exe no sistema operacional host:
Conforme demonstrado no vídeo, isso criará uma rede virtual interna e as VMs terão conectividade. Ou seja, eles poderão pingar uns aos outros.