Entretanto, consegui resolver o meu próprio problema. A resposta foi bem simples. Desde que eu sei que algo como:
docker exec -it container sh -c "echo $VARIABLE"
funciona perfeitamente, eu posso usar sh -c para executar o ponto de entrada inteiro e passar os parâmetros necessários. Portanto, quando você tiver um ponto de entrada personalizado e quiser passar variáveis definidas no próprio container, faça o seguinte:
docker run yourimage sh -c "/path/to/entrypoint.sh param1 param2 ... $SOMEVAR ...."