Você pode redirecionar a saída de um comando para um arquivo (ou até mesmo uma variável), mas isso não acontece automaticamente.
Redirecionar saída é um tópico grande na página de manual. Apenas para lembrá-lo do termo, isso redireciona a saída padrão e o erro:
foo=$(command 2>&1)
verificado por
$ foo=$(oops 2>&1); date; echo "$foo"
Sun Feb 28 20:59:18 EST 2016
sh: 1: oops: not found
Leitura adicional:
- 3.6 Redirections (Manual de Referência do Bash)