Duas coisas estavam impedindo que o e-mail fosse enviado. A entrada do servidor de nomes em /etc/resolv.conf estava apontando para um endereço IP que não existia mais. Eu não sabia que este novo controlador de domínio / servidor de troca teria um novo endereço IP. Alterei uma entrada em /etc/resolv.conf para nameserver 192.168.2.10 para nameserver 192.168.2.11 .
/etc/hosts também continha uma entrada que tinha o endereço IP antigo. Eu mudei isso também. Depois que as duas alterações foram feitas, reiniciei o sendmail. Depois disso, os e-mails começaram a ser transmitidos com sucesso.
Na solução de problemas, achei muito útil usar o telnet, mas nunca o usei antes. Eu recomendo strongmente.
Obrigado por ajudar, @vonbrand. Eu aprecio muito isso.