Outras funções de rede funcionam?
Tente telnet de uma máquina para outra.
Se você conseguir se conectar como root, e não como não-root,
você tem um problema.
Mesmo se você receber "Conexão recusada" (ou algo similar)
como root e "Permission denied" (ou algo similar) como non-root,
você tem um problema.
TL; DR
Se outras funções de rede funcionarem como não raiz,
você provavelmente não tem um problema.
O programa ping usa o protocolo ICMP, cujo uso é restrito à raiz.
Portanto, o programa ping é geralmente instalado setuid
para root. Fazer
ls -ld $(which root)
Se não for de propriedade de root e setuid ( ---s--x--x pelo menos),
faça isso executando
chown root path_to_ping chmod 4755 path_to_ping
como root.