Você estava quase lá. Basta alterar o índice da matriz para $ 1 - esse é o elemento comum dos dois arquivos:
awk 'NR==FNR {a[$1]=$2;next} $1 in a {print $2, a[$1]}' file2 file1
E não há ideia de por que você coloca $ 1 $ 2 no array, já que parece precisar de apenas $ 2.
Atualizar de acordo com a edição da pergunta.
Você coloca claramente que "correspondência f2 $1
com f1 $3
" (desejo que todas as perguntas sejam tão claras), portanto, basta escrever no código de acordo:
f2 $1 f1 $3
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awk 'NR==FNR {a[$1]=$2;next} $3 in a {print $0, a[$3]}' f2 f1