Você também pode salvar a saída ps na variável e gravá-la usando um eco ou printf.
DATE2='date +%Y-%m-%d:%H:%M:%S'
PS_RESULT='ps up 12345 --no-headers'
printf "%s: %s" "${DATE2}" "${PS_RESULT}" >> $filename
Nota lateral, pode ser útil acostumar-se a $(command)
em vez de 'command'
quando você puder usá-lo, pois essa sintaxe pode ser aninhada.