Você precisa citar o formato para a data após o sinal +
.
$ date +"%Y/%m %b"
2013/10 Oct
Em relação às variáveis. $MOVEDIRSTR
parece desnecessário.
MOVEDIR=$(sed -r -e 's:([0-9]{4})([0-9]{2})([0-9]{2}).*:date -d -- +%Y/%m_%b/%d:' <<< "$line")
Já que com $FLIST
você está analisando as datas desse diretório, não vejo uma maneira mais clara.
UPDATE # 1
Dado o feedback do OP nos comentários abaixo, ele está usando um dispositivo QNAP e provavelmente tem uma versão diluída desses comandos fornecidos pelo BusyBox. Se você olhar o comando date assim: ls -l /bin/date
é provavelmente um link para um executável chamado busybox ou algo semelhante. Esses comandos não são completos, por isso seus problemas.
Ele confirmou isso:
You're probably right. My date is its own executable, but /bin/sed -> busybox
Dadas as limitações, os métodos discutidos acima podem não funcionar, pois você está trabalhando com um conjunto limitado de recursos com essas ferramentas.