Eu finalmente consegui descobrir isso. (Desculpe novo para o site, então a pergunta foi feita por mim, mas eu não criei uma conta na época).
Sempre que você instala o Kali mais recente (Este é o kali 2016.2) e tenta instalar o último dotnet do site que forneci (que não é o mais recente) na versão 1.0.1, há muitos dependências que precisam ser reduzidas para uma versão anterior antes que o dotnet funcione.
Primeiro está fazendo o downgrade de libicu57 para libicu52 (que pode ser encontrado no site de pacotes debian). Isso consertará o seguinte problema:
Failed to initialize CoreCLR, HRESULT: 0x80131500
Em seguida, você precisa instalar a versão anterior do libssl (downgrade de libssl1.0.2 para libssl1.0.0). Isso corrigirá o problema original desta postagem.
Então, você precisa fazer o downgrade do libcurl3 (libcurl3 7.52 para libcurl3 7.38) para evitar que a falha de segmentação ocorra ao chamar o dotnet new, a restauração do dotnet, a execução do dotnet.
Deve ser isso.