Droga, logo depois que eu postei minha pergunta eu descobri o problema (depois de tentar encontrar uma resposta por cerca de uma hora ou duas).
Parece que o tarsnapper apenas exibe toda a sua saída normal para stderr em vez de stdout. Eu acho que isso é um bug no tarsnapper.
Mas para responder a minha própria pergunta eu só preciso redirecionar usando 2>/dev/null
(para rediredt stderr) para me livrar da "saída normal", mas eu acho que não vou conseguir nenhuma saída, mesmo que existam possivelmente reais erros (que eu ainda gostaria de receber no meu e-mail do cron, se ocorrerem erros).
Editar:
Como uma "solução" temporária acabei apenas redirecionando toda a saída (stdout e stderr) do tarsnapper anexando-a a um arquivo de log usando isso no cron:
0 2 * * * PATH=$PATH:/usr/local/bin tarsnapper -c /usr/local/etc/tarsnapper.conf make >>/var/log/tarsnapper-cron.log 2>&1
Então eu posso apenas verificar /var/log/tarsnapper-cron.log
se eu quiser ver como o tarsnapper está trabalhando sem spam meu e-mail via cron.
Obviamente, seria melhor se eu também conseguisse erros no meu e-mail automaticamente, mas atualmente isso não parece ser possível sem modificar o próprio tarsnapper ou fazer um script que analise a saída do tarsnapper e tente descobrir se existe um erro ou não baseado no texto de saída.