Em primeiro lugar, a saída de $ var é apenas isso (yum list available git), não é o resultado do comando. Para poder ter $ var contém um comando você tem que defini-lo assim:
var=$(yum list available git)
a condição se [[$ var]] não diz mais do que se $ var existir. Portanto, não compara a saída de $ var a nada. Assim, seu script deve ser parecido com isto:
#!/bin/bash
email="my_email@my_domain"
var="yum list available git | grep git | wc -l"
if [ $var -ge 1 ]; then
echo "Git updates available" | mail -s "Gitlab Updates" $email
fi