Use aspas simples:
$ sudo chroot mychroot /bin/bash -c 'MY_VAR=5; echo ${MY_VAR}'
Eu não consigo passar uma variável de ambiente para um chroot:
$ sudo apt-get install debootstrap dchroot
$ sudo debootstrap trusty mychroot
$ sudo chroot mychroot /bin/bash -c "MY_VAR=5; echo ${MY_VAR}"
$
Use a resposta do yaegashi ou escape do $
like
$ sudo chroot mychroot /bin/bash -c "MY_VAR=5; echo \${MY_VAR}"
$ XYZ=abc sudo -E chroot rootfs/ qemu-aarch64-static /bin/sh -c 'echo $XYZ' abc
Eu estava procurando uma maneira de passar uma variável de ambiente para as chamadas chroot de um debootstrap e percebi que o seguinte também funciona:
$ sudo MY_VAR=5 chroot mychroot env | grep MY_VAR
MY_VAR=5