Você tem o MariaDB instalado em vez do MySQL e está tentando instalar a versão do pacote de desenvolvimento do MySQL. Isso resulta em um conflito de dependência. O pacote MariaDB equivalente é chamado de forma ligeiramente diferente: é libmariadb-dev .
libmariadb-dev também tem Provides: libmysqlclient-dev em seus metadados do pacote, portanto, ele satisfará todas as dependências de libmysqlclient-dev .
Então tente:
sudo apt-get install python3.6-dev libmariadb-dev
Para limpar o aviso sobre o repositório do Skype, verifique seu arquivo /etc/apt/sources.list e todos os arquivos no diretório /etc/apt/sources.list.d/ e verifique se o repositório do Skype é mencionado apenas uma vez.
Os novos pacotes do Skype descartarão um arquivo de configuração do repositório no diretório /etc/apt/sources.list.d/ , enquanto os mais antigos não o fizeram, então você provavelmente adicionou o repositório do Skype manualmente. Agora você pode remover sua adição manual.