Não é tão simples quanto você quer.
Você provavelmente deseja fazer o download de um e-mail com wget de uma interface de webmail. Essa interface usa muitas coisas complexas que os navegadores podem fazer, mas o wget não pode (ou somente através de scripts extremos).
No entanto, a maioria dos webmails também tem suporte para MAP ou POP, com eles você pode fazer isso com relativa facilidade.
Se não o fizerem, então é mais fácil resolver a mesma tarefa com uma ferramenta de automatização HTTP diferente da wget . Por exemplo, com Selenium você pode automatizar navegadores reais, embora seja relativamente complexo para configurar, e ele come muito mais recursos. Em essência, você precisa programá-lo.
No seu caso, sugiro ir na direção do POP3 / IMAP.