Usando o Firefox ou o Google Chrome, abra as ferramentas do desenvolvedor (clique com o botão direito do mouse na página e escolha inspecionar) e, em seguida, selecione a guia "Rede".
Verifique se você está registrando solicitações e faça login normalmente na página. Percorra os pedidos de rede que foram gravados (provavelmente serão muitos deles) até encontrar o que você deseja recriar. Clique com o botão direito do mouse no pedido e selecione copiar como curl.
Isso copiará um comando curl na área de transferência do sistema, que você poderá colar diretamente no seu shell, recriando a solicitação exata feita pelo navegador nos cookies, cabeçalhos e parâmetros de consulta.