echo "$LOG_FILE" | sed -n '$p' não extrai a última linha do arquivo $LOG_FILE , leva a última linha do que é enviado para sua entrada padrão, que é o nome do seu arquivo de log ( /var/lib/backuppc/log/LOG ) que deve aparecer no seu e -mail.
A sintaxe correta seria:
sed -n '$p' "$LOG_FILE"
Ou melhor, como mostrar as N últimas linhas é o trabalho de tail :
tail -n 1 "$LOG_FILE"