As variáveis não são expandidas entre aspas simples. A variável $name
está entre aspas simples.
Você pode corrigir isso quebrando aspas simples no meio:
perl -pi -e 's/PLACEHOLDER_BACKEND_NAME.*/PLACEHOLDER_BACKEND_NAME='"$name"'/g' ~/psth-to-file.sh
Observe que eu citei a variável duas vezes para proteger contra globbing e divisão de palavras.