Se você der uma olhada na página de manual da tela , você notará esse direito na opção -L
é a opção -Logfile
:
-Logfile file
By default logfile name is "screenlog.0". You can set new
logfile name with the "-Logfile" option.
Configurar isso para um arquivo exclusivo para cada tarefa Cron deve fornecer o que você deseja.