tente:
#!/bin/bash
while true; do
for user in $(ls /home); do
chgrp www-data /home/${user}/private/FILE.TXT
done
sleep 10
done
O loop infinito é para ignorar a limitação do cron de 1 minuto para repetir um trabalho. torne-o executável:
chmod +x /PATH/TO/owner.sh
E apenas execute-o sem um cronjob.
Além disso, se você quiser apenas reagir à modificação de um arquivo e modificar diretamente a propriedade desse arquivo, use as ferramentas inotify:
#!/bin/bash
for user in $(ls /home); do
inotifywait -mqe close_write /home/${user}/private/FILE.TXT --format %f | while IFS= read -r file; do chgrp www-data $file; done
done
Basta executá-lo uma vez