Como isso é fazer a pergunta em um site do Ubuntu, a única recomendação que posso dar é Lubuntu, que é o recurso menos pesado dos sabores oficiais do Ubuntu. Eu usei em máquinas com mais de 10 anos e não tive nenhum problema.
Existem outras variedades leves do Linux, como o Puppy Linux, ou o Trisquel Mini. Você pode até criar uma instalação mínima do Arch Linux com um ambiente de desktop leve instalado, embora esse seja um processo muito mais complicado. Conselhos sobre estas distros estão fora do âmbito deste site embora.