Para conseguir o que você deseja, você precisa habilitar o encaminhamento do X11 ao se conectar ao servidor remoto.
Além disso, para exibir o Firefox (X11 Client), você precisa de um X11 Server em execução na sua área de trabalho LXDE (que já é o caso, o OS X também possui o X Server. O Windows pode precisar do XMing X Server).
Para habilitar o X11 Forwarding, você não precisa usar o PuTTY, em qualquer sessão do emulador de terminal:
ssh -X user@remote_server
Uma vez conectado, digite firefox
e você poderá ver a GUI na sua área de trabalho LXDE.
Se você realmente quiser usar o PuTTY de qualquer maneira, na configuração de massa - > SSH - > X11, marque Ativar o encaminhamento do X11.