Sem parâmetro, um ping é executado para sempre, mas você pode restringi-lo, esperar no máximo 10 segundos e fazer apenas um ping dessa maneira:
ping -W10 -c1 askubuntu.com
para suprimir a saída e emitir seu aviso
ping -W10 -c1 askubuntu.com || warning.sh
para lidar com uma lista de domínios
urls=(abc.de xy.org jkl.net)
for url in ${urls[@]} ;
do
ping -W10 -c1 $url || warning.sh
sleep 10
done
Para abrir um aviso, você precisa iniciar o script manualmente, ou fazer alguma ginástica com o crontab - erros comuns lá: chame programas sem caminho. Usando programas x11 sem especificar o DISPLAY.