A resposta de ican está totalmente correta. No entanto, acho que você está apontando para o objetivo errado. Não tenho certeza do que é freeswitch, então vou removê-lo e usar o gedit.
Primeiro, o Linux é muito mais "orientado para a rede" do que o Windows. Isso é verdade até o nível do gui. X windows, é um protocolo de rede. Você pode executar um dos vários servidores X no Windows e, em seguida, usar o putty para se conectar à sua caixa do Linux e executar o gedit. A janela apareceria em sua caixa do Windows como se você a executasse nativamente.
Outra opção que é muito parecida, mas boa se você quiser suportar a execução do gedit em tempo integral é o Xvnc. Você pode iniciar um servidor vnc (ao qual você se conecta no Windows). Isto lhe dará um DISPLAY totalmente independente para rodar o gedit. O Xvnc pode iniciar como um servidor, como um usuário específico, e executar automaticamente alguns comandos. Isso ajudará você a começar nessa direção, mas precisará de um pouco de pesquisa. Eu suspeito que é a solução que você quer.
Uma terceira solução é o XDMCP. Este protocolo permite que você efetue login em uma sessão X inteira a partir de um servidor X remoto. Basicamente, você iria se conectar à "tela de login" da sua caixa do Windows e de lá ir. Esta página é um bom começo para o XDMCP
A quarta solução é iniciar o X e executar o seu script dentro dele. Isso lhe daria uma área de trabalho "especial" que você poderia usar apenas para esse aplicativo. Isso não "quebraria" sua instalação ou login normal, mas separaria seu aplicativo. Um exemplo rápido de script seria ...
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Note que o quarto exemplo também pode ser usado em sessões Xvnc ou XDMCP.