Isso pode não ser realmente a resposta que você está procurando, mas como não posso comentar (restrições estranhas: |), aqui vai:
Uma solução para seu problema pode ser que você sincronize seus dados de usuário entre os dois navegadores. Eu sei que pelo menos Opera (Link), Firefox e Chrome (ambos Sync) oferecem isso. Você conecta seus dados de usuário a um endereço de e-mail e é sincronizado automaticamente. Isso também funciona em vários dispositivos (no Google Chrome, está localizado em Preferências - > Coisas pessoais - > Configurar sincronização)