Primeiro, verifique se você tem o Sun JAVA instalado. Instalar o JDK ou o JRE é uma maneira suficiente de fazer isso. O JDK pode ser melhor. Leia aqui sobre como instalá-lo: link
Em seguida, no site Minecraft, você precisará baixar o arquivo .jar beta. Faça o download para sua área de trabalho.
Em seguida, no terminal, faça o seguinte:
cd /home/username/Desktop chmod +x minecraft.jar
Substitua username pelo seu nome de usuário com o qual você fez login no seu computador.
Em seguida, clique com o botão direito do mouse no arquivo Minecraft.jar e vá para Propriedades. Na guia "Abrir com", escolha o botão de opção que diz "Sun Java Runtime" ou texto semelhante. Clique no botão "Fechar".
Por fim, clique duas vezes no arquivo minecraft.jar. Agora deve executar o cliente do Minecraft.