Eu encontrei uma solução para isso.
Primeiro, alterei o arquivo (de uma linha) que estava lançando. Adicionei o comando cd necessário para garantir que o arquivo .jar fosse executado em sua própria pasta para esse arquivo, em vez de tentar colocá-lo no campo de comando do ativador. Isso deu o seguinte como o arquivo que eu estava lançando:
cd "/home/[user]/Downloads/Wild Card Creator 1-6-2/"
java -jar "libs/Wild Card Creator-1.6.2.jar"
Depois de verificar que isso ainda executaria o programa de destino quando iniciado a partir de um terminal, consegui simplificar o ativador, eliminando o comando composto. Eu descobri que ainda tinha que expandir manualmente o ~ , então acabei com o comando do lançador sendo:
"/home/[user]/Downloads/Wild Card Creator 1-6-2/WildCardCreator.sh"
Isso agora inicia o programa com êxito com um único clique (eu tenho meu desktop definido para iniciar com um único clique).