Você pode tentar inicializar em um kernel antigo a partir do menu grub. Segurar a tecla shift durante a inicialização deve fornecer o menu de inicialização do grub.
Espero que você veja um novo kernel que foi instalado como parte da atualização e também uma versão antiga do kernel para inicializar.
Se o kernel mais antigo é uma opção, inicialize-o. Então você pode tentar consertar todos os pacotes quebrados com
sudo apt-get -f install
A partir da experiência anterior, eu normalmente desisto e faço uma instalação limpa se as coisas não correram bem quando atualizo. Na verdade, quando fui de 14.04 para 16.04, escolhi a opção de instalação limpa. Você pode perceber e consertar o problema de inicialização apenas para encontrar outros problemas e pode gastar mais tempo do que vale a pena corrigi-los.
No pior caso (e provavelmente na opção mais fácil), sugiro usar um live cd para inicializar e colocar todos os seus arquivos em uma unidade USB e, em seguida, limpar a instalação.