Normalmente, não quero responder às minhas próprias perguntas, mas resolvi esse problema - principalmente. As respostas foram nesses dois posts:
Configuração IP estática causando erros no apt-get
resolv.conf não é configurado na reinicialização quando a rede está configurada para ip estático
Por fim, a resposta foi adicionar:
dns-nameservers 10.0.1.1
No final da definição da eth0 em /etc/network/interfaces
. Isso resolve todos os meus problemas de acesso ao mundo exterior. No entanto, eu passei de uma inicialização muito rápida até uma inicialização que leva alguns minutos enquanto aguarda na configuração de rede por algum motivo. O IP estático é reservado com o roteador para que os conflitos não sejam o problema.
De qualquer forma, o sistema agora funciona funcionalmente com o IP estático que eu quero. A inicialização longa é apenas um aborrecimento.