Você pode facilmente fazer o backup de sua pasta de perfil do thunderbird.
Normalmente está localizado em
~/.thunderbird/<Profile name>/
Enquanto no Debian ou no Ubuntu, o build está localizado em
~/.mozilla-thunderbird<Profile name>.
Você pode apenas fazer o backup de todo o diretório ou, se não estiver familiarizado com o que exatamente deseja fazer o backup, você poderá tentar FEBE addon.