Para fazer com que o Ubuntu use essa partição (supondo que seja sda2 ) como /var , você só precisa adicionar esse ponto de montagem em /etc/fstab :
/dev/sda2 /var ext4 defaults 0 2
Se você quiser, pode usar também o UUID da partição: basta fazer la -la /dev/disk/by-uuid e obter o valor correto para sda2:
UUID=<uuid-for-sda2> /var ext4 defaults 0 2
Finalmente, reinicie ou use sudo mount -a .
NOTA: você terá que mover / copiar o conteúdo real de /var para a nova partição.