Você pode instalar o driver Broadcom 4312 através do terminal com estes comandos:
sudo apt-get update
então
sudo apt-get install bcmwl-kernel-source
Uma vez instalado, basta reiniciar e, então, ele deve estar funcionando.
Se isso não funcionar, você pode tentar isto:
Pesquise Drivers Adicionais e assim que você precisar clicar no driver wireless Broadcom STA e habilitá-lo.
Reinicie e veja se isso funciona para você.
A última coisa que eu recomendaria a você é reinstalar o Ubuntu e quando ele perguntar se você deseja instalar o software de terceiros (extras restritos), verifique se ele está marcado. Quando o Ubuntu terminar de instalar, seu wifi deve estar funcionando na primeira inicialização.
Você pode precisar instalar um driver adicional quando estiver conectado à rede wifi porque o driver de extras restritos pode estar instável, mas deve funcionar o suficiente para você instalar o outro driver.
Verifique meu post aqui para ajuda adicional.