Eu finalmente resolvi isso desinstalando o Skype e depois não indo para a Loja do Ubuntu, mas para o site da Skype e baixe e instale o Skype de lá. Agora eu tenho que funcionar sem problemas!
Eu fiz uma instalação limpa do Ubuntu 18.04. Eu instalei o Skype da Loja de Software do Ubuntu. No entanto, quando eu queria iniciar o Skype, ele caiu tão mal que o usuário do Ubuntu também foi desconectado (!) Isso aconteceu no Wayland e no X.org.
Eu finalmente resolvi isso desinstalando o Skype e depois não indo para a Loja do Ubuntu, mas para o site da Skype e baixe e instale o Skype de lá. Agora eu tenho que funcionar sem problemas!
Fazer logon na sessão do X.org, em vez de o Wayland, resolveu o problema para mim.