A Relatividade Especial nos diz que a energia tem massa. Portanto, a energia cinética dos pratos do disco giratório fará com que seu HDD ganhe massa quando você ligá-lo.
Isso é provavelmente mais significativo do que qualquer alteração em massa que você possa ter dos dados armazenados.
É claro que o ganho de massa ainda é infinitesimalmente pequeno.
Além disso, para ser realmente pedante, o peso é a manifestação da massa em um campo gravitacional. Então, o peso vai mudar se você levar o disco para o andar de cima, mas a massa não vai.