Não, você não pode compartilhar cookies em navegadores da web. No momento, não há serviços que sincronizem cookies da mesma maneira que os marcadores são sincronizados.
Não faz sentido que você compartilhe um cookie entre navegadores ou até máquinas, porque os cookies devem ser usados para identificar unique sessions . A maioria dos aplicativos da Web também é inteligente o suficiente para lidar com o acesso simultâneo de seus serviços a partir de vários dispositivos. Por exemplo, você pode usar Facebook ou Gmail em seu smartphone e laptop sem causar problemas de sincronização.
Uma abordagem alternativa que você pode considerar é usar uma extensão como Trocar meus cookies para gerenciar várias sessões em um único navegador.