Fontes de texto
Você pode visualizar a origem da página e depois procurar a folha de estilo. Isso estaria nos arquivos terminados em .css
Então, para algo como Superusuário, você olharia o código-fonte e veria isso (não se preocupe com o bit após o ponto de interrogação (?)):
<link rel="stylesheet" href="http://sstatic.net/su/all.css?v=4372">
Depois faça uma busca por dentro procurando algo como isto:
font-family:Consolas,Monaco,Lucida Console,Liberation Mono,
DejaVu Sans Mono,Bitstream Vera Sans
Isso mostrará o que o site usar como padrão para o texto. Se você tiver uma fonte correspondente daquela lista no seu computador, ela será exibida. Caso contrário, apenas continuaria até atingir algo.
Fontes em imagens
Para texto usado em gráficos, você pode usar algo como What The Font! e usar a máquina de adivinhação para identificar qual fonte o site poderia ter usado.