Fórmula do Excel para calcular o terceiro ponto em um triângulo

Question

Eu preciso de uma fórmula do Excel que possa me ajudar a encontrar o terceiro ponto em um triângulo, dada a maioria das outras informações. Isso não é lição de casa, o que significa que não preciso fazer isso apenas uma vez. Eu preciso de uma maneira consistente para realizá-lo repetidamente nos próximos meses, da forma mais rápida e precisa possível, por isso espero que o Excel ou algo similar seja a melhor ferramenta. Tenho a impressão de que sempre pode haver duas respostas válidas para esse problema. Em caso afirmativo, e se possível, quatro fórmulas, duas para os possíveis valores de X e duas para os possíveis valores de Y, ficariam bem. Na maioria dos casos, o trabalho correto não será difícil. Minha principal preocupação é poder fazer isso com precisão, repetidamente.

Todos os pontos estão em um sistema cartesiano 2D, (possuem valores X e Y) e podem ser negativos ou positivos. O triângulo será aleatório e, portanto, deve ser considerado escaleno. Para cada triângulo, tenho dois pontos cartesianos, juntamente com as distâncias entre esses pontos e o terceiro ponto. A partir disso, posso facilmente assegurar que nas outras colunas, eu tenha os comprimentos de todos os três lados, e todos os três ângulos internos nos formatos radiano e de grau, bem como os dois pontos cartesianos como valores X e Y. Como posso usar uma fórmula do Excel para obter os valores X e Y restantes dos dois terceiros pontos válidos?

Eu mostrarei as colunas / variáveis que tenho aqui para deixar claro, caso você queira usar minhas letras em vez da notação tradicional.

point 1:
A = X1
B = Y1

point 2:
C = X2
D = Y2

E = distance from p1 to p2  (calculated from other values)
F = distance from p1 to p3
G = distance from p2 to p3

H = inner angle at p1 in radians (calculated from other values)
I = inner angle at p2 in radians (calculated from other values)
J = inner angle at p3 in radians (calculated from other values)

The cells that will contain my formulas:
K = possible X3
L = other possible X3
M = possible Y3
N = other possible Y3

Minha suposição é de que haveria duas fórmulas para X3 e duas fórmulas para Y3, cada uma produzindo uma solução possível, mas não tenho 100% de certeza se isso é verdade.

Eu não consigo lidar com a matemática, mas meu instinto seria que eu pudesse de alguma forma pegar uma das minhas fórmulas de distância, por exemplo, aquela para calcular a distância E:

=SQRT(((C-A)^2)+((D-B)^2))

e manipulá-lo para resolver o conjunto X, Y, dado a distância e o outro conjunto X, Y, mas cada vez que eu tentar isso, me perco ou erro antes de encontrar uma fórmula funcional.

É possível fazer isso de maneira simples usando as colunas / variáveis acima e um conjunto de quatro fórmulas do Excel? Obrigado.

    

Answer 1

Aqui está um conjunto possível de fórmulas, que basicamente faz o que Dane descreveu. Testado no Google Docs.

A= ____                         // X1
B= ____                         // Y1
C= ____                         // X2
D= ____                         // Y2
E= sqrt((A-C)^2+(B-D)^2)        // Distance 12
F= ____                         // Distance 13
G= ____                         // Distance 23
H= acos((E^2+F^2-G^2)/(2*E*F))  // Angle 1
I= acos((E^2+G^2-F^2)/(2*E*G))  // Angle 2
J= acos((F^2+G^2-E^2)/(2*F*G))  // Angle 3
K= A+F*cos(atan2(C-A,D-B)+H)    // X3
L= A+F*cos(atan2(C-A,D-B)-H)    // X3Alt
M= B+F*sin(atan2(C-A,D-B)+H)    // Y3
N= B+F*sin(atan2(C-A,D-B)-H)    // Y3Alt

    

Answer 2

Você poderia plotar os círculos com raio dado de cada ponto conhecido e, em seguida, ver onde eles se cruzam. Como mostrado abaixo.

    

Answer 3

Para calcular seu terceiro ponto, você precisa do seguinte:

1. Um ponto de partida
2. A distância
3. O ângulo do eixo x

Você usará as funções =sin() ou =cos() do Excel e as contas serão explicadas nesta questão matemática .

O truque é calcular (3) o ângulo do eixo x. Esta pergunta do Stack Exchange informa como determinar o ângulo do eixo x em seu lado conhecido . Você usará =atan2() do Excel. A partir disso, você adicionará ou subtrairá seu ângulo interior (seu valor H, por exemplo). Adicionar x subtraindo aqui é o que lhe dará seus dois pontos diferentes.

Tenha cuidado ao usar radianos vs. graus.

Divirta-se e deixe-nos saber o que você pensa!