Antes de mais nada, copie o plug-in do Flash.
$ sudo cp /usr/lib/flashplugin-installer/libflashplayer.so /usr/lib/chromium-browser/plugins
Em seguida, inicie o Chromium assim.
$ chromium-browser --enable-plugins
Esta resposta está desatualizada; você não precisa mais fazer isso para executar o Flash no Chromium.