Não sei se é possível dentro das pastas IMAP, mas você poderia criar um Filtro de Mensagens no Thunderbird que copiasse novas mensagens da pasta IMAP para uma pasta em Pastas Locais:
Primeiro, crie uma pasta nas pastas locais para manter as mensagens em
Da caixa de entrada do IMAP,
vá para Ferramentas / Filtros de Mensagens
clique em Novo
dê ao filtro um nome
clique em Corresponder todas as mensagens
em Executar estas ações, selecione Copiar mensagem para e selecione a pasta que você criou em Pastas locais
clique Ok
Ele deve ser executado automaticamente para todas as novas mensagens, e você pode executá-lo manualmente clicando em Executar agora na caixa Filtros de mensagem ou em Ferramentas / Executar filtros na pasta