Em suma, não. O POP3 e o SMTP foram projetados de volta quando o armazenamento era muito mais caro e, em geral, nada era deixado no lado do servidor. Se o seu e-mail for realmente proveniente do Exchange, você poderá usar o IMAP, desde que seu empregador esteja permitindo o acesso a ele. Se o seu empregador estiver executando o Exchange 2007 ou 2010, há também um plug-in do EWS (Exchange Web Services) chamado ExQuilla que permitirá uma um pouco mais de conexão nativa (acredito que isso seja semelhante ao modo como os dispositivos Android e iOS se conectam). Se eu estiver entendendo corretamente, o ExQuilla permitiria que o Thunderbird funcionasse mais como o Outlook, incluindo o suporte ao Global Address Book.
Se você configurar uma conexão EWS ou IMAP, deverá ser possível copiar / mover tudo da caixa enviada local para o servidor.