Sua melhor aposta seria obter um programa de gravação de tela. Veja esta questão para sugestões.
como posso salvar um bate-papo em vídeo usando o Yahoo Messenger ou o Gmail?
Este artigo do Yahoo! Respostas pareciam ter funcionado para outra pessoa ... FWIW ...
"Copy & past the link at myfolder." by Y!A user hujan_dingins (user no longer exists)
Uma página do SuperShareware sugerindo mais soluções para o Yahoo Chat, no entanto, esta página parece um pouco sombria ... Por sua conta e risco: link