Não tenho certeza se é possível escrever o conteúdo de um e-mail no log do exim, mas, mesmo que seja, eu recomendaria contra ele, pois isso tornaria seus logs bastante ilegíveis.
No entanto, o exim tem uma opção shadow_transport que você pode definir em outro transporte e que permite gravar o conteúdo de um email em uma caixa de correio local para referência posterior; isso deve permitir que você faça o que deseja fazer. Para obter mais informações, confira esta parte da especificação exim.
No entanto, observe que algumas jurisdições podem não gostar desse tipo de invasão ocasional da privacidade de seus usuários. Em caso de dúvida, entre em contato com seu advogado.