Você deseja obter um KVM com reconhecimento de HDMI.
ATEM faz alguns (por exemplo): link
Especificamente em sua sinopse de produto para eles, eles parecem ter um recurso específico relacionado ao problema que você está enfrentando:
The ATEN HDMI KVM Switches provide enhanced independent switching via front panel pushbuttons and keyboard hotkeys, and features Video DynaSync™ technology to ensure that HDMI display resolution is always optimized.