Existem diferentes maneiras de fazer isso, dependendo de como você deseja bloqueá-lo. A maneira mais fácil seria bloquear somente o tráfego nas portas 80 e 443, exceto para um IP conhecido, o que deixa uma pessoa motivada para vazar / exfiltrar dados, mas isso está muito além da média de abilidade de seus filhos. Você pode fazer isso por IP com comandos como
iptables -I -s kids.ip -p tcp --dport 80 -j DROP
iptables -I -s kids.ip -d dest.ip.to.allow -p tcp --dport 80 -j ACCEPT
iptables -I -s kids.ip -p tcp --dport 443 -j DROP
iptables -I -s kids.ip -d dest.ip.to.allow -p tcp --dport 443 -j ACCEPT
Observe que a ordem é importante, pois as regras são inseridas na parte superior da tabela, portanto, a última regra é correspondida primeiro.
Você precisará garantir que o dispositivo use um IP estático (kids.ip) para que isso funcione. Não afeta o correio, o DNS ou outro tráfego que não seja da Web.