Sim, você precisa de algum tipo de servidor DNS. Alguns roteadores Wi-Fi possuem serviço DNS embutido. O que você está usando como servidor DHCP nessa rede? Talvez você possa executar o serviço DNS nessa mesma caixa. Independentemente disso, você desejará configurar seu servidor DHCP para informar aos clientes sobre seu servidor DNS quando eles obterem suas concessões de endereço IP via DHCP.
Se isto é como algum tipo de instalação de galeria de arte ou algo do tipo, onde este é o ÚNICO servidor web que as pessoas precisam obter desta rede, então você pode considerar configurar seu servidor web como o "portal cativo" em sua rede. Se você já se conectou a uma rede Wi-Fi pública ou comercial e fez com que redirecionasse todas as suas solicitações da Web para sua própria tela de login baseada na Web, sabe o que é um portal cativo. Você poderia usar essa funcionalidade para forçar todos a acessar seu website. Não há nenhuma exigência de que o seu site forneça a eles uma maneira de fazer logon no "restante da rede", para que você possa aproveitar a funcionalidade de redirecionamento do portal cativo para forçar as pessoas ao seu site.
Acredito que você pode fazer isso ao executar distros de firmware de revenda como o OpenWrt no seu roteador Wi-Fi. Caso contrário, você pode precisar de um roteador Wi-Fi de classe corporativa ou de acesso público para obter esse tipo de funcionalidade.
Veja por que você não pode fazer mapeamentos de nome de host para endereço IP sem um servidor DNS:
O IETF (o corpo de padrões da Internet que publica RFCs) tem um método para fazer com que domínios ".local" funcionem sem um servidor DNS; é chamado ZeroConf ou "IETF Zero Configuration Networking", e o Bonjour da Apple é uma implementação dele. Avahi para Linux é outro.
Infelizmente, a Microsoft tem uma coisa diferente e incompatível chamada LLMNR para fazer com que os domínios ".local" funcionem sem um servidor DNS. O "Windows Zero Configuration" da Microsoft é uma coisa totalmente separada, mas muito confusa, especialmente porque ambos podem se aplicar a redes Wi-Fi.
Não tenho ideia do estado atual do Android com esse respeito. Não sei se os dispositivos Android executam o Avahi ou qualquer tipo de daemon IETF ZeroConf por padrão.
Portanto, não há realmente nenhum padrão de rede local, de nome de host sem servidor para pesquisa de endereço IP que garanta o funcionamento fora da caixa em todos os navegadores em todos os sistemas operacionais de computadores pessoais e smartphones / tablets.